用中值定理证明x/(1+x)
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设 f(x)=ln(1+x)
则f(x)在[0,x](x>0)范围内符合拉格朗日中值定理
故有f(x)-f(0)=f'(c)(x-0) (0<c<x)
而f(0)=0 f'(x)=1/(1+x)
所以ln(1+x)=x/(1+c)
因为 0<c<x 所以有
x/(1+x)
则f(x)在[0,x](x>0)范围内符合拉格朗日中值定理
故有f(x)-f(0)=f'(c)(x-0) (0<c<x)
而f(0)=0 f'(x)=1/(1+x)
所以ln(1+x)=x/(1+c)
因为 0<c<x 所以有
x/(1+x)
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