Question

利用定义判定函数y=x/1-x（分数）的单调性＋并指出单调区间

Answer 1

方法一：
∵y＝x/（1－x）＝［1－（1－x）］/（1－x）＝－1＋1/（1－x）,
∴y′＝［（1－x）^（－1）］′＝（－1）［（1－x）^（－2）］（1－x）′＝1/（1－x）^2＞0.
∴函数在定义区间内是增函数.
由函数的定义域可知：x不能为1,∴函数单调递增,增区间是（－∞,1）∪（1,＋∞）.
方法二：
引入函数的两个自变量的值x1、x2,且x1＜x2.则：
y（x2）－y（x1）
＝x2/（1－x2）－x1/（1－x1）＝［（x2－x1x2）－（x1－x1x2）］/［（1－x1）（1－x2）］
＝（x2－x1）/［（1－x1）（1－x2）］.
由函数的定义域可知：x不为1.于是：
当x1＜x2＜1时,x2－x1＞0、1－x1＞0、1－x2＞0,∴y（x2）－y（x1）＞0.
当1＜x1＜x2时,x2－x1＞0、1－x1＜0、1－x2＜0,∴y（x2）－y（x1）＞0.
∴函数单调递增,增区间是（－∞,1）∪（1,＋∞）.
注：请注意括号的正确使用,以免造成误解.