Question

数学分析中，有哪些著名的不等式

Answer 1

Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai2） * （∑bi2） ≥ （∑ai * bi)2.

排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。

设有两组数 a1,a2，…… an，b1,b2，…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an，b1 ≤ b2 ≤……≤ bn 则有 a1bn + a2bn-1 +……+ an b1≤ a1bt + a2bt +……+ anbt ≤ a1b1 + a2b2+……+ anbn，式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a1 = a2 =……= an 或 b1 = b2 =……= bn时成立。

以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.

切比雪夫不等式有两个

⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn

那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi）

⑵设存在数列a1,a2,a3,.....,an和b1,b2,b3,......,bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn

那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi）

琴生

设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1）+f(x2）+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1）+a2f(x2)+……+anf(xn)，其中

ai≥0(i=1,2，……，n)，且a1+a2+……+an=1.

均值

a2 + b2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍）