Question

观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形,寻找规律：

Answer 1

立方体的长、宽、高相等为n,则体积为n^3;
诸多小立方体组成一个大立方体;设所组成图形的一条边有n个小立方体,
则组成大立方体的体积（即小立方体个数）为n^3.
直观看一个大的立方体你最多能看到3个面,没个面面积（即小正方体个数)为n2.
那么顶面个数为n^2,
一个侧面个数为n^2-n（即侧面个数减去顶层已经算过的一层个数）
另一个侧面个数为(n-1)^2（即侧面个数减去已经算过其他两层的个数）
能够看见的3个面相加,n^2 + (n^-n) + (n-1)^2=3n^2-3n+1.
看不见的小正方体个数=n^3 - 3n^2 + 3n - 1
根据二项展开公式,
看不见的小正方体个数=n^3 - 3n^2 + 3n - 1
=(n^3-1) - 3n(n-1)
=(n-1)(n^2+n+1) - 3n(n-1)
=(n-1)(n^2-2n+1)
=(n-1)^3
希望搂住满意!