Question

4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.

Answer 1

1)过N做NP垂直于AM.由题意,得：三角形ANP为等腰直角三角形（∠MAN＝45°）；所以：MN^2=NP^2+PM^2;设正方形ABCD边长为1,BM=b,DN=a.MN^2=NP^2+PM^2------1；MN^2=NC^2+MC^2------2;1,2式联立：NP^2+PM^2=NC^2+MC^2；故：(AN/√2)^2+(AM-AP)^2=(1-DN)^2+(1-BM)^2;(1+a^2)/2+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)+(1+a^2)/2=(1-a)^2+(1-b)^2;(1+a^2)+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=(1+a^2)+(1+b^2)-2(a+b);√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=2(a+b);(1+a^2)*(1+b^2)=2(a+b)^2;1+a^2+b^2+a^2*b^2=2a^2+2b^2+4ab;1+a^2*b^2-2ab=a^2+b^2+2ab;(1-ab)^2=(a+b)^2;因为a1-ab=a+b;=(a+b)^2;故：MN=a+b=MB＋ND,原题得证.2）由MB＋ND＝MN,得:NC^2+MC^2=(MB＋ND)^2;所以:(1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2;a+b=1-ab;下面用1)的证明倒推.