Question

已知abc都是正实数,且abc成等比数列,求证a^2+b^2+c^2＞(a-b+c)^2

已知abc都是正实数,且abc成等比数列,求证a^2+b^2+c^2＞(a-b+c)^2

Answer 1

0>2ac-2ab-2bc
ac=b^2
ac-ab-bc=b(b-a-c)
a+c>=2根号ac=2b，b>0
ac-ab-bc<0
得证

Answer 2

a^2+b^2+c^2＞(a-b+c)^2
不等式左边拆开后与右边化简得到ac-b(a+c)<0,既是求证此不等式成立。显然ac=b^2带入得到b(b-（a+c）<0,而a+c>=2b,（均值不等式：a^2+b^2>=2ab)所以得证。