Question

如图在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1CC1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O？

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C,且O为AC的中点,
所以A1O⊥AC．
又由题意可知,平面AA1C1C⊥平面ABC,
交线为AC,且A1O平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又AB=BC,AB⊥BC,∴ OB=12AC=1,
所以得： O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),C(0,1,0),C1(0,2,3),B(1,0,0)
则有： A1C→=(0,1,-3),AA1→=(0,1,3),AB→=(1,1,0).
设平面AA1B的一个法向量为n=（x,y,z）,则有 {nAA1→=0nAB→=0{y+3z=0x+y=0,
令y=1,得 x=-1,z=-33所以 n=(-1,1,-33)．
cos＜n,A1C→＞=nA1C→|n||A1C→|=217．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与 A1C→所成锐角互余,所以 sinθ=217．
（Ⅲ）设 E=(x0,y0,z0),BE→=λBC1→,
即 (x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,3),得 {x0=1-λy0=2λz0=3λ
所以 E=(1-λ,2λ,3λ),得 OE→=(1-λ,2λ,3λ),
令OE∥平面A1AB,得 OE→n=0,
即-1+λ+2λ-λ=0,得 λ=12,
即存在这样的点E,E为BC1的中点．（不懂欢迎追问!,6,如图在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1CC1⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC中点,（1）证明A1O垂直平面ABC（2）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值（3）在BC1上确定一点E,使得OE∥平面A1AB只要求能写出解题思路就行了,重点第3题,