Question

高一函数 要过程

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1x2恒有f（x1 * x2）=f（x1）+f（x2）
1 求证 f（1）=f（-1）=0
2 求证y=f（x）是偶函数
3 若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f（x）+f（x-1/2）≤0

求过程

Answer 1

1.令x1=0,x2=1带入得到f（1）=0，同理f（-1）=0。
2.令x1不变，x2=-1，带入得到f（-x1）=f（x1）所以是偶函数
3.因为f（x1 * x2）=f（x1）+f（x2），所以f（x）+f（x-1/2）=f（x^2-x/2)<=f（1），得到
0=<x^2-x/2<=1,解方程就行。根据对成性，画图可得令一个区间

Answer 2

令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0
令x1=x2=-1,则f(1)=2f(-1),所以f(-1)=0
令x2=-1,则f(-x1)=f(x1)+f(-1)=f(x1),所以是偶函数
由偶函数的性质知,因为f(x)在(0,+∞)为增,所以在(-∞,0)为减
原不等式化为f(x^2-x/2)≤f(1),
所以-1≤x^2-x/2≤1,-15/16≤(x-1/4)^2≤17/16
所以-根号17/4≤x-1/4≤根号17/4,所以(1-根号17)/4≤x≤(1+根号17)/4
其中x≠0且x≠1/2

Answer 3

（1）令x1=1,x2=1
f(1*1)=2f(1)
令x1=-1,x2=-1
f(-1*-1)=f(1*1)=2f(-1)
f(1)=f(-1)
令x1=1,x2=0
f(1*0)=f(0)=f(1)+f(0)
f(1)=0
f(1)=f(-1)=0
(2)f(x*-1)=f(x)+f(-1)=f(x)
f(-x)=f(x)
是偶函数
（3）f（x）+f（x-1/2）=f(x*(x-1/2))<=0
f(x)是（0，+∞）上的增函数且f(x)是偶函数
f(x)是（-∞，0）上的减函数
f(x*(x-1/2))<=0，且f（1）=f（-1）=0
x*(x-1/2)>=1或x*(x-1/2)<=-1
解得x>=(1+根号17)/4或x<=(1-根号17)/4

Answer 4

1.f(1)=f(1)+f(1)=0
f(1)=f(-1)+f(-1)=0,f(-1)=0
2.f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
3.f[x(x-1/2)]<=0
-1<=x(x-1/2)<=1,x(x-1/2)!=0
求解即可

Answer 5

1.令x1 =x2 =1,则 f(1) = f(1)+f(1) ==>f(1) =0
令x1 =x2 =-1,则 f(1) =2f(-1)=0 ==>f(-1) =0
==> f（1）=f（-1）=0
2.令x1 =x∈R,x2 = -1,则
f(-x) = f(x)+f(-1) =f(x)
==>y=f（x）是偶函数
3.f[x(x-1/2)] = f(x) +f(x-1/2)
==>f（x）+f（x-1/2）≤0 <==>f[x(x-1/2)]≤0
f（x）为（0，+∞）上的增函数
==>-1≤x(x-1/2)≤1
==>1/4 -√17/4≤x≤1/4+√17/4 ,x≠0

Answer 6

x1=x2=1时由f（x1 * x2）=f（x1）+f（x2）有f（1）=f（1）+f（1）
所以f（1）=0.
f（1）=f(-1)+f(-1),所以f（-1）=0
f（x1 * x2）=f（x1）+f（x2）可知，f（-1×x）=f（-1）+f（x）
从而f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数
由于f（x）是偶函数，若f（x）为（0，+∞）上的增函数，则
f（x）在（-∞，0）是减函数，又 f（1）=f（-1）=0
f（x）+f（x-1/2）=f（x²-1/2 x）≤0

所以-1≤x²-1/2 x≤1，解之可得（1-sqrt17）/4≤x≤（1+sqrt17）/4