Question

高一数学竞赛选拔题

仅有一个自然数n,始2^8+2^11+2^n为完全平方数，则n等于

Answer 1

2^8+2^11+2^n =2^8（1+8+2^（n-8））
=2^8（9+2^（n-8））
2^8 已是完全平方数 16^2
（9+2^（n-3）） 当2^（n-8）=16 即 n=12时 为完全平方数 5^2

那么 n=12 完全平方数是 16*5=80
仅有一个自然数n 借用题中说明 可以证明找到的n是唯一的

Answer 2

n=12
先给原式提取公因式2^8，原始变为（2^8）*（1+2^3+2^(n-8)）,前部分已经是平方数了，只要1+2^3+2^(n-8)也是就可以了，猜呗，12刚好

Answer 3

n=12 ∵2^8+2^11+2^n=80^2 ∴n=12