Question

已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形三边AB.AC.BC的距离分别是h1,h2,h3,三角形ABC的高为h,若点P在一...

已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形三边AB.AC.BC的距离分别是h1,h2,h3,三角形ABC的高为h,若点P在一边BC上(图一,此时h=0,可得h1+h2+h3=h,请你探索以下问题:当P点在三角形ABC内(图2)和点P在三角形ABC外(图3)这两种情况时,h1.h2.h3.与h之间有怎样的关系,请写出你的猜想并简要说明理由.

Answer 1

①P在△内h=h1+h2+h3
过P做DE‖BC,等边△ADE的高=h1+h2
∴h=h1+h2+h3
②P在△外,设P在BC边外h=h1+h2-h3
过P做DE‖BC,等边△ADE的高=h1+h2
∴h=h1+h2-h3(P在BC边外)
h=h2+h3-h1(P在AB外)
h=h1+h3-h2(P在AC外)

Answer 2

（1）P在三角形内，h=h1+h2+h3, 点P把三角形ABC分成以P为顶点的三个小三角形，小三角形面积分别为：底边*h1/2,底边*h2/2,底边*h3/2,底边相等。三个小三角形面积之和为底边（h1+h2+h3)/2=底边*h/2,所以h=h1+h2+h3

Answer 3

解答：解：
（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PF
即 12BC•h=12AB•h1+12AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．

（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PF+12BC•PE
即 12BC•h=12AB•h1+12AC•h2+12BC•h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．

（3）h=h1+h2-h3．
当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即12BC×AM=12AB×PD+12AC×PE-12BC×PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．

Answer 4

当点P在三角形内时，等式依然成立；在三角形外时，则没有必然的联系，只不过随着离各边越远而越大。

Answer 5

①P在△内h=h1+h2+h3
过P做DE‖BC,等边△ADE的高=h1+h2
∴h=h1+h2+h3
②P在△外,设P在BC边外h=h1+h2-h3
过P做DE‖BC,等边△ADE的高=h1+h2
∴h=h1+h2-h3(P在BC边外)
h=h2+h3-h1(P在AB外)
h=h1+h3-h2(P在AC外)