Question

limx→0,(1+x)^1/x=e 为什么

Answer 1

将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限

lim x→∞,(1+x)^(1/x) 

=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))] 

=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)] 

其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)

=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型，

使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0 

所以e的指数部分极限是0。

原式=limx->0(e^x/x - 1/x)

=limx->0(e^x - 1)/x

=1

扩展资料

举例：

limx→0[(1+x)^1/x-e]/x

原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x

=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x （把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）

=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 （x→0时,有e^x-1~x）

=-e/2。

Answer 2

lim(x-0) (1+x)^(1/x)=e
等价于 limx-无穷 （1+1/x)^x=e

等价于证明 limx-正无穷 （1+1/x)^x=e
limx-负无穷 (1+1/x)^x=e 两式同时成立
这里先证明整数情况时候limn-无穷大 (1+1/n)^n=e
设f(x)=(1+1/(n+1))^n n<=x<n+1 n为正整数
g(x)=(1+1/n)^(n+1) n<=x<n+1 n为正整数
再证明 f(x)递增有上界 g(x)递减有下界 所以limx-正无穷 f(x)存在
limx-正无穷g(x)存在
由归结原则 取{xn}={n}
limx-正无穷f(x)=limn-正无穷(1+1/(n+1))^n=e
limx-正无穷g(x)=limn-正无穷(1+1/n)^(n+1)=e
当n<=x<n+1时有
1+1/(n+1)<1+1/x<1+1/n
(1+1/(n+1))^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^(n+1)
f(x)<(1+1/x)^x<g(x)
由迫敛性得证

Answer 3

这个是一个基本公式，可以直接使用，也是e的一种定义方式，我们可以证明它收敛，然后就把这个极限定义为e。如果这样不容易看清楚，可以设n=1/x,让n->正无穷。