Question

格林公式的使用条件是什么？

Answer 1

格林公式的使用条件

1）区域D必须是单连通的,也就是说区域D是连续的,通俗讲,区域D中没有“洞”。
2）组成区域D的曲线必须是连续的，曲线是闭曲线，围成区域D。

3）曲线L（可以是分段组成）具有正向规定，曲线的方向是正向。

4）被积函数在D中具有连续一阶连续偏导数，P(x,y)，Q(x,y)在D内具有连续的偏导数；
则∫(L) P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫(D) (αQ/αx-αP/αy)dxdy。

扩展资料：

1．格林公式

当(1)积分曲线为闭曲线L；

(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；

(3)在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有

【注1】正确使用以上标准格林公式，三个条件：闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性，一个都不能少。

【注2】格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向，而是取相反的方向时，则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质，有

即不管边界曲线取什么方向，有

利用“左手法则”判断为正方向，则取正；否则取负。

【注3】判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”：当沿着边界曲线的正方向行走时，平面区域应该位于我们左手一侧，

所以对于单连通区域，即只有外边界曲线的实心区域来说，曲线的正方向为逆时钟方向；对于多连通区域，则边界曲线由内外边界曲线构成，外边界曲线的正方向为逆时钟方向

内边界的边界曲线为顺时钟方向。

【注4】注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。如果切向量方向为T0=(cosα,cosβ)（T=(x’(t),y’(t))）

则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n0=(cosβ,-cosα)（n=(y’(t),-x’(t))）；当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n0=(-cosβ,cosα)（n=-(y’(t),-x’(t))）。

即曲线的法向量与切向量的关系为：n=±(y’(t),-x’(t))。取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。

参考资料来源：中国知网及其研究应用