Question

求极限lim(1-√cosx)/(1-cos√x) (x→0+)

Answer 1

解：因为当x→0时，1-cosx与x^2/2是等价无穷小
∴原式=lim(x→0+)（1-√cosx）*x^2/2
=lim(x→0+)(1-√1)*0/2
=0

Answer 2

可用罗比达法则：
lim(1-√cosx)/(1-cos√x) (x→0+，下同)
=lim[(sinx/2√cosx)/(sin√x/2√x)]
=lim(sinx/2√cosx)/lim(sin√x/2√x)]
=(0/2)/(1/2)=0

注：利用重要极限可得lim(sin√x/√x)=1

Answer 3

1-cost ~ t²/2

lim(x→0+) (1-√cosx)/(1-cos√x)
1-cost ~ t²/2
=lim(x→0+) (1-√cosx)/(x/2)

=lim(x→0+) (1-cosx)/[(x/2)(1+√cosx)]

=lim(x→0+) (1-cosx)/[(x/2)(1+√cosx)]

=lim(x→0+) (x²/2)/[(x/2)(1+√cosx)]

=lim(x→0+) x/(1+√cosx)

= 0/2

=0