Question

若正数a.b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为？

请帮忙找出一下解法的错误：
ab=a+b+3≥2倍根下 3（a+b）＝2倍根下 3（ab-3）
即a²b²≥12（ab-3）
即a²b²-12ab+36≥0
△=0
ab≥0

正确答案是ab>=9
请问哪里错了？

Answer 1

你取等的条件忽略了
应该是这样：ab=a+b+3
-->ab-a=b+3
-->a=(b+3)/(b-1)
-->ab=b(b+3)/(b-1)
b-1=t -->(t+1)(t+4)/t=t+5+4/t>=5+2√4=9
-->ab≥9

楼主的做法是有大错误的，因为取等要a=b才能实现，然而得到ab≥0时取不到这个值。应该先把a化作b的表达式，然后乘以b，通过对b的计算；来获取答案

Answer 2

a+b+3≥2倍根下 3（a+b）这个错

正确应该这样 ab=a+b+3≥2√(ab)+3，即
ab-2√(ab)-3≥0

令x=√ab，则
x²-2x-3≥0，即
(x-3)(x+1)≥0，得
x≥3，（x≤-1舍去）

故√(ab)≥3,即
ab≥9 ，当且仅当 a=b=3时，等式成立。