Question

函数的单调性与导数

求函数f(x)=x^3-ax^2+1在[0,2]内单调递减，求实数a的取值范围。

Answer 1

楼上的答案显然不对，试取x=4，f'(x)<0也是恒成立，所以楼上的a>=6是错的。
解：
∵f(x)在[0,2]上单调递减

∴f(x)的导数 f'(x)在[0,2]上必须满足f'(x)<0恒成立。

即 f'(x)=3x²-2ax<0，即

只需x(3x-2a)<0恒成立，

因为题中x∈[0,2] (我觉得如果x取到0，那么等式就不恒成立，所以我认为你的题目有错误，应该为开区间，以下以开区间(0,2]来解)

因为x∈(0,2]，大于0，故，只需
3x-2a<0，x<2a/3恒成立，则只需
2a/3>2

即a>3

Answer 2

解：f`(x)=3x^2-2ax=x(3x-a)
(1)a>=0时
（-∞，0）∪(a/3,+∞)单调增 [0，a/3]单调减
∵x∈[0,2]单调减
∴a/3>=2，a>=6
(2)a<0时
（-∞，a/3）∪(0,+∞)单调增 [a/3，0]单调减
∴a不存在舍去

所以综上所述a>=6