Question

如图，在直角梯形ABCD中，角ABC=90度，AC平行BC，AD=4，AB=5,BC=6,点P是AB上的一动点，当PC+PD的和最小时

如图，在直角梯形ABCD中，角ABC=90度，AC平行BC，AD=4，AB=5,BC=6,点P是AB上的一动点，当PC+PD的和最小时，PB的长是____.

Answer 1

以AB为对称轴作直角梯形的对称图形ABMN,可以知NDCM是等腰梯形，AB为梯形上下底边上的中线，PC=PM, PC＋PD＝PM＋PD,根据两点之间直线距离最短，可知D,P,M三点在一条直线上，有最小值，设PB=X
可以由三角形NPD相似于三角形MPC,相似比5-X):X=(4+4):(6+6) 解得X=3
因此 当PC＋PD的和最小时，PB的长为3

Answer 2

答案是先找出C点关于AB的对称点，设为C‘点，连接PC’,则由于线段中线上的点到端点的距离相等，可得PC=PC‘,于是PD+PC=PD+PC'，由于两点之间直线最短，因此，连接DC'点交AB得到的P点可使得PD+PC最短

然后由于三角形ADP相似于三角形BC'P，于是AP/BP=AD/BC'=4/6，而AP+BP=AB=5，故PB=3

Answer 3

作D关于AB的对称点D‘，则PD=PD’，
PC+PD=PC+PD‘≥CD’=定长
此时C、D’、P共线，由△PBC∽△PAD‘
PB/PA=6/4
又PB+PA=AB=5
∴PB=3

Answer 4

PB=3
将三角形沿AB对称，用相似三角形

Answer 5

3