Question

已知x>y>0求x/(x+2y)+y/(x-y)的最小值？

Answer 1

要找到表达式 x/(x+2y) + y/(x-y) 的最小值，我们可以使用最小值的性质：
1. 将表达式通分，得到 (x(x-y) + y(x+2y)) / (x+2y)(x-y)。
2. 展开并整理得到 (x^2 + xy + 2y^2) / (x^2 - y^2 + 2xy - 2y^2)。
3. 然后将分子的多项式 x^2 + xy + 2y^2 与分母的多项式 x^2 - y^2 + 2xy - 2y^2 进行因式分解。
(x^2 + xy + 2y^2) = (x+y)(x+2y)

(x^2 - y^2 + 2xy - 2y^2) = (x+y)(x-y) + 2y(x-y) = (x+y+2y)(x-y)

4. 原表达式可以简化为 (x+y)(x+2y) / (x+y+2y)(x-y)。
5. 约去相同的因子，得到 (x+2y) / (x-y+2y)。
6. 进一步简化得到 (x+2y) / (x+y)。
由于 x>y>0，因此分式的值大于1。所以最小值为 1，当 x=y 时取得最小值。
希望我的回答给到你帮助~

Answer 2

令 t＝x－y＞0，则 x＝y＋t，
原式＝(y＋t)/(3y＋t)＋y/t
令 y/t＝k＞0，
则原式＝(k＋1) / (3k＋1)＋k
＝1/3＋(2/3)/(3k＋1)＋k
＝(2/3)/(3k＋1)＋(1/3)*(3k＋1)
≥2*√(2/9)＝2√2 / 3，
当 (3k＋1)²＝2 即 k＝(√2－1)/3，
所求最小值为 2√2 / 3 。