Question

关于函数的左右极限的问题！

RT，求这个函数的间断点类型。
我的理解是
1、当x=-1是函数的无穷间断点。
因为x→-1时，lim f（x）=2/0=∞
2、当x=1时是函数的可去间断点。
因为x→1时，lim f（x）=1/(x+1)=1/2
但是在1处无定义，即令x=1时，f（x）=1/2 函数就连续了
3、当x=0时是跳跃间断点。
x→0-时，lim f（x）=-1/（1+x）=-1
x→0+时，lim f（x）=1/（1+x）=1
因为左右极限不相等

接着就可以延伸好几个疑问了：
1、是不是讨论左右极限或者左右连续的时候，如果x→x0，x0的值是正数或者负数就不用讨论x→0+ 0-了呢？？不然要怎么讨论呢？？请以这题举例吧。
2、一直不明白怎么算左右极限，比如当x=0时，就只是变|x|的符号吗，倘若没有|x|的式子，因为符号一致，左右极限不就相等了吗？
3、在求极限的式子如lim x（1-x）/x（1+x），x→0，可以上下同时约去x吗？？？这跟x在f（x）中有无定义或者x等不等于0有关系吗？？？因为x=0在算式中不能约的啊！

Answer 1

1. x-->xo-的意思是从x0的左边也就是小于x0的方向趋近于x0  

   x-->x0+的意思是从x0的右边也就是大于x0的方向趋近于x0  所以不论x0正负，还是0都要两个方向

2. 同上

3. 可以，因为极限是一个趋近的过程,在极限的定义中强调的是xo的去心领域内有定义即可,也就是无限接近0，但是不等于0，用存在δ>0 当0<|x-x0|<δ来刻画这种接近程度的
   

追问

谢谢。
可是我不明白，如果当x0=1，从左边和右边趋近1会有什么不一样吗？
有没有什么比较直观的例子呢？

追答

例子取整函数f(x)=[x]
它在x--》1- f(x)=0 x-->1+ f(x)=1

追问

关于第一个问题：

f（x）=x*sin（1/x)，可去间断点是0.
这个函数，x→0的左右极限是什么呢？

或者延伸一下，什么情况下左右极限才会不相等？

追答

是0
无穷小量和有界量的乘积都是0
x--》0- 你可以去 x=-0,0000000000001 |sin1/x|<=1 它们乘积之后 就非常接近0 随着x与0越来越近 函数值就趋近于0 所以0就是左极限
x--》0+ 也是一样
实质就是极限是一级趋近的过程 ,与那个点的定义无关

Answer 2

1、
是的
这和0没关系
就是x趋于x0+和x0-
不管x0是不是0都是这样的

2、
如果左和右时，函数表达式是一样的
且函数值不是趋于∞
那是一样的

3、
可以约分的
如果约分后分母没有x了
那这个一定是可去间断点

追问

关于第一个问题：

f（x）=x*sin（1/x)，可去间断点是0.
这个函数，x→0的左右极限是什么呢？

或者延伸一下，什么情况下左右极限才会不相等？

追答

太烦了，算了
采纳别人吧，再见