Question

三角函数最大值怎么求?

Answer 1

y=√5sin(x+φ)
φ=tanb/a=tan1/2
y=y=√5sin(x+arctan1/2)
最大值为√5
规律：
y=asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)
φ=tanb/a
这是高中的知识呀，高一的，我刚学完，这是结论，老师让我们记住
原文在http://www.zx98.com/Article/UploadFiles/200412/20041213191036584.doc
三角函数最值问题类型归纳
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现.其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的知识点之一;或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程).题目给出的三角关系式往往比较复杂,进行化简后,再进行归纳,主要有以下几种类型.掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决.
1.y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.
例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的(D)
A,最大值是1,最小值是-1B,最大值是1,最小值是-
C,最大值是2,最小值是-2D,最大值是2,最小值是-1
分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
特点是含有sinx,cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.
例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π,k∈Z}.
3.y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.
例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.
解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,
令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a,(-1≤t≤1)
(1)若-a1时,在t=-1时,取最大值M=a.
(2)若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.
(3)若-a>1,即a0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2
所以0注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.
6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化,变成二次函数的问题.
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解:令sinx+cosx=t(-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-,
根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.
相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.
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Answer 2

不论是sinx还是sin(2x-π/6) 都是三角函数f(x)=sin(x)的几种形式

你可以令t=2x-π/6 则sin(2x-π/6)=sin(t)

也就是使sinx和sint有相同的形式

t=π/2时 sint 即sin(2x-π/6)有最大值

此时2x-π/6=t=π/2 so x=π/3

求sint的单调区间得出关于t的区间

然后再根据t=2x-π/6即可算出sin（2x-π/6）关于x的单调区间

sint t=不论是sinx还是sin(2x-π/6) 都是三角函数f(x)=sin(x)的几种形式

你可以令t=2x-π/6 则sin(2x-π/6)=sin(t)

也就是使sinx和sint有相同的形式

t=π/2时 sint 即sin(2x-π/6)有最大值

此时2x-π/6=t=π/2 so x=π/3

求sint的单调区间得出关于t的区间

然后再根据t=2x-π/6即可算出sin（2x-π/6）关于x的单调区间

t=90度 求最大值点阿