Question

微分方程的通解就是它的全部解吗？ 微分方程的通解被定义为：如果微分方程的解含有任意常数，且任意常

微分方程的通解就是它的全部解吗？

微分方程的通解被定义为：如果微分方程的解含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解（这里的任意常数是相互独立的）.

根据这个定义，是否可以推论出，微分方程的任一解，都被通解所“包含”？如果这个说法成立，那么，如何证明？

Answer 1

追答

注意，通解中任取常数C的值，都不可能得到
y=0这个解

追问

如果是这样，那么，怎么能根据通解和初始条件，求出微分方程的全部特解？如果不能求出全部特解，只能求出某个特解，那有什么意思？我就只能知道某个函数是解，却不能知道，解是否只能是这个函数。

追答

特解的概念是通解中确定了任意常数的解，换言之，特解就应该包含在通解中。

你的疑虑可能在于那些不含于通解中的解，这类解确实难以把握，我们称之为“奇解”，一般，根据条件要求可以判断奇解是否合乎要求

追问

比如一个实际问题，我已知，一未知函数f(x)满足某个微分方程，并且还已知初始条件，我想求出函数f(x)。如果我按照微分方程的理论，求出了这个微分方程的通解，又代人初始条件得出了特解，但我却只能知道，函数f(x)可能是这个解，却不能肯定它就是这个解。那么，微分方程求解的理论，就不能满足实际啊。

如何找出全部的解？或者，高等数学的数学水平，还达不到这一点？

追答

高等数学里面对微分方程定解问题介绍确实不太深入，
建议你学习一下《常微分方程》这门课程，
你的很多疑虑可以在这门课程中得到解答。

追问

常微分方程可以告诉我，怎么求出全部的解吗？

追答

其实，学到最后，你会发现，能够求出解析解的微分方程实在是少之又少，只有一些特殊形式才能求出解析解，所以，后面又有两门课程，叫做《常(偏)微分方程的数值解》

追问

顺便吐槽一下高数，在微分方程这一章，教给我们许多不严密的推理过程，在微分方程这一章里，根本不配数学的称号，因为数学本来是要求严密的。这样下去，不是培养学生正确的数学思维，而是摧毁学生正确的数学思维，还强迫其接受根本站不住脚的伪数学思维！

追答

建议你把高数看做是高等数学这一个知识体系的入门，
有很多底层的数学知识，比如实数，解析几何，微分方程，在数学系的专业课程里面是有专门分类的，我们教授的高等数学，应该称之为工科高等数学，里面的底层理论基本没有涉及或一带而过，因为面向工科学生讲授，所以，应用层面的东西多一些，呵呵

追问

这么说，高数里的微分方程这一节，各种结论都说不清楚了？好悲哀啊！

追答

深究下去，高数里面的连续，积分，等等概念都有语焉不详的地方

就不要深究了

追问

那倒不是。极限、连续、积分及其有关的结论，都是用魏尔斯特拉斯的方法定义和证明的，是严密的。但微分方程就不然了。

追答

不是的，你被蒙蔽了，呵呵，如果你要深究，建议你先看看《数学分析》

Answer 2

看了这个解释，还是有些疑惑，不过与楼主有同感

Answer 3

不是的。常数解有时候是包含在通解中的，但是有时候也不包含在通解中，如果不包含在通解中的话，就必须把常数解写出来。所以微分方程的通解不是全部的解。

一阶微分方程的通解为：一个特解+任意常数C。所有解为：当通解中的C取所有的常数时所得到的解的集合（无限集）。

扩展资料：

微分方程的约束条件：

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。