Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点A(0,4),顶点在x轴上，且对称轴在y轴的右侧，设

直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且OP：PQ=1:3。
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△PAQ的面积；
（3）在线段PQ上是否存在一点D使△APD∽△QPA？若存在求出D点坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

解 b^2-4ac=0,x=-b/2a时，y=0。则，c=4
b/a=4c/b<0,x=-b/2a>0
直线y=x与二次函数图象自左向右分别
交于P(x1,y1),Q(x2,y2),且因顶点在x轴上
则x1,x2同号，y1,y2同号,X1=Y1,X2=Y2
x2>x1>0,y2>y1>0。a>0,b<0。所以，
OP:PQ=x1:(x2-x1)=y1:(y2-y1)=1:3

x2/x1-1=3,x2/x1=4,y2/y1=4
4=(ax2^2+bx2+c)/(ax1^2+bx1+c)
4ax1^2+4bx1+4c=16ax1^2+4bx1+c
12ax1^2=3c,x1^2=c/4a，c>0。
y1=x1=ax1^2+bx1+c
x1(1-b)=5c/4
c/4a=25c^2/[16(1-b)]^2
25ac/4=1-2b+b^2
b^2=4ac
25b^2=16-32b+16b^2
9b^2+32b-16=0
b=-4，ac=4，c=4，a=1
y=x^2-4x+4即为所求二次函数的方程
因为 OA=AQ=4，∠AOQ=45°
作AE垂直于OQ于E，AE=OQ/2=2√2
PQ=3*OQ/4=3√2
所以S△APQ=PQ*AE/2=6
∵ ∠AOQ=45° ∠PAO<45°
∴ 在线段PQ上存在一点D,使
三角形APD相似三角形QPA
AP:PD=PQ:AP,
AP^2=(3)^2+1=10
PD=AP^2/PQ=5√2/3
设D(m,m)，则2m^2=OD^2=(PD+OP)^2=(64*2)/3
m=8√3/3,所以，D(8√3/3,8√3/3)