Question

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点，且以PQ为直径的圆恰过

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值

Answer 1

设与已知圆相交的圆方程为X^2+Y^2+DX+EY+F=0 ①
因为圆过原点 所以F=0
联立①和X^2+Y^2+X-6Y+M=0②
①-② 得（1-D)X+(-6-E)Y+M=0
是两圆公共弦方程 也正是与题目中的直线X+2Y-3=0重合
(1－D)x＋(－6－E)y＋M=0与直线x＋2y－3=0是同一条直线，则：
对应项系数成比例，得：
(1－D)/(1)=(－6－E)/(2)=M/(－3)-----------------------(1)
这个方程是无法求出M的值的。
另外，圆x²＋y²＋Dx＋Ey=0的圆心P(－D/2，－E/2)在x＋2y－3=0上，则：
(－D/2)＋2(－E/2)－3=0 --------------------------------(2)
由(1)、(2)就可以解出M的值了。。

【注意：这个问题中，方程(2)是最容易被忽略的】
如果帮到您的话，可以好评吗？谢谢了！！！(右上角采纳)