Question

已知函数f(x)=x-1/x，g(x)=alnx(a∈R)

h(x)=f(x)+g(x)，且h(x)有两个极值点x1 x2，其中x1∈(0,1/2]，求h(x1)-h(x2)的最小值

Answer 1

h(x)=f(x)+g(x)=x-1/x+alnx （x>0)
h'(x)=1+1/x^2+a/x=(x^2+ax+1)/x^2
h(x)有两个极值点
令h'(x)=0
即x^2+ax+1=0
那么方程有2个不等的正数根，x1,x2
且x1∈(0,1/2]
那么{Δ=a^2-4>0
{x1+x2=-a>0
{x1x2=1
∴a<-2 ,x2=1/x1, ,a=-x1-1/x1

h(x1)-h(x2)=x1-1/x1+alnx1-x2+1/x2-alnx2
= x1-1/x1+alnx1-1/x1+x1+alnx1
=2x1-2/x1+2alnx1
=2[x1-1/x1-(x1+1/x1)lnx1]
H(x)=2[x1-1/x1-(x1+1/x1)lnx1]
H'(x1)=2{1+1/x²1-[(1-1/x²1)lnx1+(x1+1/x1)/x1]}
=2[-(1-1/x²1)lnx1]
=2[(1-x²1)/x²1]lnx1
∵0<x1≤1/2,lnx1<0 ,1-x²1>0
∴H'(x1)<0
∴H(x1)为减函数
H(x1)min=H(1/2)=2[1/2-2-5/2ln(1/2)]
=5ln2-3

追问

好厉害，我这里还有一个不会的题，查不到的，希望您能帮我看看
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，O为原点，M为椭圆上任意一点。过F,B,C三点的圆的圆心坐标为(p,q)
1.当p+q≦0时，求椭圆的离心率的取值范围
2.在1.的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D(b+1,0)，(→MF+→OD)×→MO的最小值为7/2，求椭圆的方程
十分感谢～

追答

1. 过F,B,C三点的圆的圆心在线段，怎么点C呀！点M吧，
   

   FB垂直平分线L上，点M为L与椭圆交点

   圆心坐标为T(p,q)，当p+q≦0时，圆心T

   在直线x+y=0的左侧