Question

等比数列an中，已知a1=2且a2,a1+a3,a4成等差数列

1，求an通项公式
2求数列log2an-an的前n项和sn
3设bn=1/log2a（n+1）*log2an求证b1+b2+…bn大于1/2

Answer 1

(1)an = a1 * q^(n-1);
a1 = 2
∵a2，a1+a3，a4成等差数列
∴a2 + a4 = 2(a1 + a3) （1）
而a2 = a1 * q=2q , a4 = a1 * q³=2q³ , a3 = a1 * q²=2q²
由（1）得：
2q + 2q³ =2 (2 + 2q²)
q + q³ =2 + 2q²
q³ - 2q² + q - 2 = 0
(q² + 1)(q - 2)=0
q-2=0
q=2;
an = 2 * 2^(n-1) = 2^n
(2)设Sn为数列{n/2^n}的前n项和，求Tn使用错位相减法。
Tn=1/2 2/2^2 ... (n-1)/2^(n-1) n/2^n (1)
1/2Tn=1/2^2 2/2^3 ... (n-1)/2^n n/2^(n 1) (2)
(1)-(2)，得1/2Tn=1/2 1/2^2 1/2^3 ... 1/2^n-n/2^(n 1)=1-2^n-n/2^(n 1)=1-(n 2)/2^(n 1)
所以Tn=2-(n 2)/2^n

Answer 2

1、2(2+2q^2) = 2q +2q^3， 解得q=2，所以a(n) = 2^n
2、记c(n) = log2an-an = n - 2^n, S(n) = n(n+1)/2 - 2^(n+1) - 2 (等差、等比分别套公式即可)
3、看你的意思是b(n) = 1/(n(n+1)) ？
如果是， b(n) = 1/n - 1/(n+1)，累加后中间项抵消，B(n) = 1 - 1/(n+1)当然大于1/2了