Question

将正偶数划分为数组：(2), (4,6), (8,10.12)，(14.16.18.20)...则第

将正偶数划分为数组：(2), (4,6), (8,10.12)，(14.16.18.20)...则第n组各数的和是多少?

Answer 1

第1组共有1个数，
第1至2组共有3个数，
第1至3组共有6个数，
……
第1至n组共有n(n+1)/2个数（等差数列求和公式）

数列2,4,6,8,……,2a求和公式=(2+2a)a/2=a^2+a

第1至n组共n(n+1)/2个数求和，即用n(n+1)/2带入上式a
Sn=[n(n+1)/2]^2+[n(n+1)/2]
=(n^4+2n^3+3n^2+2n)/4

当n>=2时，
第n组各数和=第1至n组各数和减去第1至n-1组各数和
An=Sn-S(n-1)
=(n^4+2n^3+3n^2+2n)/4-((n-1)^4+2(n-1)^3+3(n-1)^2+2(n-1))/4
=(n^4+2n^3+3n^2+2n-(n^4-4n^3+6n^2-4n+1)-2(n^3-3n^2+3n-1)-3(n^2-2n+1)-2(n-1))/4
=n^3+n
当n=1时，第1组各数和=2，也符合上式。

Answer 2

从数组的规律可以得出的是每组的第一个数符合2，4，8，14，22，32...的规律
那么可以通过数列算出通项公式为an=2+n*n-n，又因为每组的个数都是线性增加的，即1，2，3，4，5...所以Sn=n(2+n*n-n)+n*n-n=n*n*n+n