Question

已知抛物线y�0�5=4x，过P（0，-2）的直线AB交抛物线与A,B

若向量OA×向量OB=4，求直线AB 若线段AB垂直平分线交x轴于点Q（x0,0）求x0的取值范围

Answer 1

解：第一问：设直线方程为y=kx-2A(x1,kx1-2),B(x2,kx2-2)向量OA·向量OB=(k�0�5+1)x1x2-2k(x1+x2)+4=4所以(k�0�5+1)x1x2=2k(x1+x2)将直线方程带入y�0�5=4x即k�0�5x�0�5-（4k+4)x+4=0x1x2=4/k�0�5，x1+x2=(4k+4)/k�0�5所以k=-1±√2又Δ=16(k+1)�0�5-16k�0�5>0,∴k>-1/2,故舍去k=-1-√2所以直线方程为y=（-1+√2)x-2第二问：设A，B中点坐标为(x',y')∴线段AB的垂直平分线所在直线方程为y-y’=-1/k(x-x')令y=0,所以x0=ky'+x'x'=(x1+x2)/2=2(k+1)/k�0�5y'=k(x1+x2)/2-2=2/kx0=2+2(k+1)/k�0�5,k∈(-1/2,+∞),k≠0令1/k=u,∴u∈(-∞,-2)∪(0,+∞)x0=2(u�0�5+u+1),u∈(-∞,-2)∪(0,+∞)易求y=2(x�0�5+x+1)在x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)的值域为（2，+∞)∴x0的取值范围为（2，+∞)