Question

高等数学，有关三重积分对称性的问题！

计算三重积分时，是否有这样的规则：

当积分区域关于x轴对称，如积分区域是圆心为（1，0，0）半径是1的球，被积函数是f(x,y.z)。是否存在：当f(x.y.z)=f(x,-y,-z)时，原积分 = 4 * 第一卦限内的区域的积分 ……

我现在只知道，当积分区域关于xoy面对称，被积函数关于z是奇函数，则原积分为0，关于z是偶函数时，原积分=2* 积分区域是xoy上的积分
还有，当积分区域关于xoy yoz xoz都对称，被积函数又关于x，y，z都是偶函数，则原积分 = 8 * 积分区域是第一卦限内的积分。

关于三重积分的对称性计算我只知道以上两条，还有没有其他的？我是不是漏了一点？好像还有4倍的，而我现在只知道8倍和2倍的。如果我漏了，请各位告诉我还有什么情况可以用对称性求三重积分。谢谢！

Answer 1

当积分区域关于x轴对称，如积分区域是圆心为（1，0，0）半径是1的球，被积函数是f(x,y.z)。是否存在：当f(x,y,z)=f(x,-y,-z)时，原积分 = 4 * 第一卦限内的区域的积分 ……

“当f(x.y.z)=f(x,-y,-z)时”条件不对
应是“当f(x,y,z)关于y和z都是偶函数”
f(x,y,z)=f(x,-y,-z)只能说明函数关于x轴“中心对称函数”
我觉得在三重积分上，一般都不会采用直角坐标，所以对称方面不是很重要