Question

matlab 二元复杂 隐函数的求法

原始方程为：a-x-sqrt ( (r-z*cot(c) )^2 - (sqrt(R^2-z^2)-b)^2 )=0 ,除了x,z,其余都是已知参数，其中x为自变量，z为因变量，想求出每个x，对应的一个z值，用matlab solve 函数求解：
>> syms a b r R z x;
>> solve('a-x-sqrt((r-z)^2-(-b+sqrt(R*R-z*z))^2)','z')
点了确定，matlab却一直无结果出来，也没报错，也不能进行计算其他东西。。。请帮忙看看有没有别的方法求出该函数，谢了！

Answer 1

将方程移项并取平方：

    (r-z)^2-(-b+sqrt(R*R-z*z))^2 = (a-x)^2

移项并展开：

    b^2 + (R^2-z^2) - 2*b*sqrt(R*R-z*z) = (r-z)^2 - (a-x)^2

再移项，取平方：

    (b^2 + (R^2-z^2) - (r-z)^2 + (a-x)^2)^2 = 4*b^2*(R*R-z*z)

 

由此得到的是一个关于z的四次代数方程：

>> collect(sym('(b^2 + (R^2-z^2) - (r-z)^2 + (a-x)^2)^2 - 4*b^2*(R*R-z*z)'),sym('z')) 
ans = 
4*z^4-8*r*z^3+(-4*R^2-4*(a-x)^2+8*r^2)*z^2+4*(b^2+R^2+(a-x)^2-r^2)*r*z+(b^2+R^2+(a-x)^2-r^2)^2-4*R^2*b^2

可以用solve函数求解：

>> solve('(b^2 + (R^2-z^2) - (r-z)^2 + (a-x)^2)^2 - 4*b^2*(R*R-z*z)','z')

但得到的四个根表达式都非常复杂，以至于在命令窗口中无法完整显示。如果已知参数给出具体值来，表达式可以加以简化（可考虑使用vpa函数）。

 

另，对于使用Maple作为符号运算内核的MATLAB版本（2008a或更早），按照楼主的做法可以得到相同的结果（前面那句 syms定义不需要）：

>> solve('a-x-sqrt((r-z)^2-(-b+sqrt(R*R-z*z))^2)','z')

但对于MuPad内核的版本可能存在问题。

追问

我用实际参数代入试了一下，好多个解，纠结。。。有没有办法拟合方程来替换？太麻烦了，谢了！

追答

1、上面说的很清楚，四次方程，对应每一组数据都有四个解，没什么好纠结的。
2、你没给出数据，我都不知道解是实数还是复数，怎么拟合？

追问

还是excel 好用，通过excel 可以方便的拟合函数，代入matlab即可，就是麻烦点

追答

各有各的用途。excel对于简单情况易用性不错，但就拟合而言，肯定和matlab没法比。

还有其他问题吗？