Question

已知-1≤a+b≤1 ，1≤a-2b≤3求 a+3b的取值范围（高二数学必修五） 为什么我做的不对阿 这么做有错吗如下

因为-1≤a+b≤1 ，1≤a-2b≤3 所以 -4≤a+b-a+2b≤0 所以-4≤3b≤0
因为-1≤a+b≤1 所以-2 ≤2（a+b）≤2 所以 -2≤2a+2b≤2
所以 -1≤2a+2b+a-2b≤5 于是 -1≤3a≤5 然后 -1/3≤a≤5/3
就得到了 -3/13≤a+3b≤5/3
这么做不行吗 为什么和答案不一样阿 求大神帮帮

Answer 1

算的没错，这是最容易犯的错误
-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3 和 -1/3≤a≤5/3 -4≤3b≤0 这两个不等价
例如a=-1/3 b=-4/3在后面的范围，但是a+b=-5/3<-1不在前面的
画出图来就可以发现，-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3 这是四条直线围成的四边形A
-1/3≤a≤5/3 -4≤3b≤0也是围城的四边形B，但是A只是B的一部分而已
所以你求出的范围肯定是大了的
这题的方法是设a+3b=x(a+b)+y(a-2b) 得到x=5/3 y=-2/3
-5/3<=5/3(a+b)<=5/3 -2<=-2/3(a-2b)<=-2/3
所以 -11/3<=a+3b<=1