Question

一道二重极限题

怎么知道极限不存在。。。（打公式麻烦的话，可以写了再传上来），谢谢！O(∩_∩)O

Answer 1

首先, 取x = y = t → 0, 可得xy/(x+y) = t/2 → 0.
再取x = t, y = t^2-t, 当t → 0时可知x → 0, y → 0,
而xy/(x+y) = t(t^2-t)/(t+t^2-t) = t-1 → -1.
(x,y)以不同方式趋于(0,0)时极限不同, 因此二重极限不存在.

严格来说, 要定义(x,y)趋于(0,0)时f(x,y)的二重极限,
前提条件是f(x,y)在(0,0)的某个去心邻域内处处有定义.
但在(0,0)的任意去心邻域内都有x+y = 0的点, 使得xy/(x+y)没有意义.
因此(x,y)趋于(0,0)时xy/(x+y)的二重极限其实是不能定义的.

Answer 2

令y=kx^2-x=x(kx-1)
lim[xy/(x+y)]=lim[x^2(kx-1)/kx^2]=-1/k
是与k有关的变量，
极限是不存在的。