Question

设f（x）在[0,1]上具有一阶连续导数，f（0）=0，证明至少存在一点ξ∈[0,1]使f（ξ）的导数=2∫(0,

设f（x）在[0,1]上具有一阶连续导数，f（0）=0，证明至少存在一点ξ∈[0,1]使f（ξ）的导数=2∫(0,1)f(x)dx

Answer 1

解法如图：

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

Answer 2

令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续，
故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.
下面用反证法证明 ξ 只有一个。
假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0.
由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ.

Answer 3

Answer 4

题目是对的