Question

高中函数，急急急

已知函数f[x]对任意x，y属于R总有f[x]+f[y]=f[x+y],且当x＞0时，f[x]＜0，f[1]=-2/3。
求证f[x]是R上的减函数

Answer 1

证明：（1）由题设，令x=y=0,则有f(0)+f(0)=f(0).===>f(0)=0.再令x+y=0.则有0=f(x+y)=f(x)+f(-x).∴函数f(x)是奇函数。可设a＜b.则b-a＞0.由题设可得f(b-a)=f[b+(-a)]=f(b)+f(-a)=f(b)-f(a)＜0.===>f(a)＞f(b).即当a＜b时，f(a)＞f(b).∴由单调性定义可知，在R上，函数f(x)递减。

Answer 2

假设y>0,
则有x+y>x,
则f（x+y）-f（x）=f（y），
因为y>0,则f（y）<0.
所以为减函数

Answer 3

令x,y=0,得f(0)=0。再令y=-x,得f(x)=-f(-x),即f(x)为奇函数。取x>0,y>0,由题中等式得f(x+y)-f(x)=f(y)。因为x>0时，f(x)<0.故由上得f(x)在x>0上为减函数。又因为f(x)为奇函数，所以得证f(x)在R上为减函数。

Answer 4

设x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0)
f(0)=0

设y=-x
则f(x)+f(-x)=f(0)
因为f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)

所以f（x）为减函数。