Question

请问这道题怎么做？

阅读材料，数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式： 1×2=（1×2×3-0×1×2） 2×3=（2×3×4-1×2×3） 3×4=（3×4×5-2×3×4）将这三个等式的俩边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20；读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101；（只需写出结果）（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）（3）1001×1002+1002×1003···+2013×2014（写出计算过程）

Answer 1

(1)343400
(2)
1×2=（1×2×3-0×1×2）/3
2×3=（2×3×4-1×2×3）/3
3×4=（3×4×5-2×3×4）/3
.......
n(n+1)=(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3

所以1×2+2×3+…+ n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

（3）1001×1002+1002×1003···+2013×2014

=1x2+2x3+3x4+....+2013x2014-(1x2+2x3+3x4+...+1000x1001)
=2013x2014x2015/3-1000x1001x1002/3
=2723058910-334334000
=2388724910

Answer 2

1
1x2=(1/3)(1x2x3-0x1x2)
2x3=(1/3)(2x3x4-1x2x3)
.....
100x101=(1/3)(100x101x102-99x100x101)

所以1×2+2×3+…+100×101

=(1/3)(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4...........+100x101x102-99x100x101)
=(1/3)(-0x1x2+100x101x102)
=343400

2
同理
1x2=(1/3)(1x2x3-0x1x2)
2x3=(1/3)(2x3x4-1x2x3)
.....
n(n+1)=(1/3)[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]

所以，1×2+2×3+…+n（n+1）

=(1/3)(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4...........+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))
=(1/3)(-0x1x2+n(n+1)(n+2))
=n(n+1)(n+2)/3

3

1001x1002=(1/3)(1001x1002x1003-1000x1001x1002)
1002x1003=(1/3)(1002x1003x1004-1001x1002x1003)
........
2013x2014=(1/3)(2013x2014x2015-2012x2013x2014)

所以1×2+2×3+…+n（n+1）

=(1/3)(1001x1002x1003-1000x1001x1002+1002x1003x1004-1001x1002x1003
+........+2013x2014x2015-2012x2013x2014)
=(1/3)(-1000x1001x1002+2013x2014x2015)
=2388724910

Answer 3

1、
=1/3×100×101×102=343400

2、
1×2+2×3+…+n（n+1）

= 1/3×(1×2×3-0×1×2)+……+1/3×[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
= 1/3×[n(n+1)(n+2)--0×1×2
=n(n+1)(n+2)/3

3、
1×2+2×3+…+1000×1001=1/3×1000×1001×1002=334334000
1×2+2×3+…+2013×2014=1/3×2013×2014×2015=2723058910
所以原式=2723058910-334334000=2388724910

Answer 4

1）343400；
（2）n（n+1）（n+2）；
（3）n（n+1）（n+2）（n+3）

追问

确定吗？

追答

确定。。。