Question

设等比数列an的前n项的和为Sn,若S6/S3=3,则S9/S6=

Answer 1

先说一个等比数列的性质：记S(n)为等比数列an的前n项和，P(n)为S(m*n)-S((m-1)*n),m=1,2,……；则P(n)也为等比数列；且公比为q^n

证明：设等比数列为：a(n)=a1*q^(n-1)
记S(n)为前n项和，则有：
S(2n)-S(n)=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n)
=a1*q^n(1+q+……+q^(n-1))
=q^n*S(n)
同样：
S(3n)-S(2n)=q^(2n)*S(n)
同理可得：
S(m*n)-S((m-1)n)=q^((m-1)n)*S(n)
故有：
S(m*n)-S((m-1)*n),m=1,2,……；是等比数列，公比为q^n

(注：你可以只记住结论也行，会用就可以)

由上面我们知道，S3,S6-S3,S9-S6也是等比数列
因为S6/S3=3
所以S6=3S3,S6-S3=3S3-S3=2S3
所以S9-S6=(S6-S3)^2/S3=(2S3)^2/S3=4S3
所以S9=S6+4S3=2S3+4S3=6S3
所以S9/S6=6S3/2S3=3

Answer 2

令 b1 = a1+a2+a3 ，b2 = a4+a5+a6 ，b3 = a7+a8+a9 ，p = q³ ， 则 S3 = b1 ，S6 = b1+b2 ，S9 = b1+b2+b3 ； b2 = a4+a5+a6 = (a1+a2+a3)q³ = b1p ， S6/S3 = (b1+b2)/b1 = 1 + b2/b1 = 1+p ， 可得：p = S6/S3 - 1 = 2 ； b3 = b2p = b1p² ， S9/S6 = (b1+b2+b3)/(b1+b2) = (1+p+p²)/(1+p) = 7/3

Answer 3

S3=a1(1-q^3)/(1-q)
S6=a1(1-q^6)/(1-q)
S9=a1(1-q^9)/(1-q)

S6/S3=(1-q^6)/(1-q^3)=1+q^3=3
q^3=2
所以S9/S6=(1-q^9)/(1-q^6)=(1-8)/(1-4)=7/3

Answer 4

对于楼上的,公式我赞成,但答案我觉得有问题.计算失误吧.
∵S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又S6=3S3
∴S3,2S3,S9-3S3 成等比数列
则有 (2S3)^2=S3*(S9-3S3) ,S9=7S3
S9/S6=7/3