Question

如图，在⊿ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE。

如图，在⊿ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE。 （1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么?

Answer 1

（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB=EC．
∴∠3=∠4．
∵∠ACB=90°，
∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∴AE=CE．
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．
∴AF=AE，
∴∠F=∠5，
∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥FE．
∴∠1=∠5．
∴∠1=∠2=∠F=∠5，
∴∠AEC=∠EAF．
∴AF∥CE．
∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°．
∴△EAC为等边三角形，
∴AC=EC．
∴平行四边形ACEF是菱形．
（3）四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：
由（1）可知，∠2与∠3互余，
∠3≠0°，∴∠2≠90°．
∴四边形ACEF不可能是矩形．

Answer 2

（1）求证：
∵ △ABC中，ED是BC的垂直平分线，且∠ACB=90°，∴AE=CE=BE
∵ AF=CE， ∴ AF=AE，∴ ∠F=∠5，
∵∠5=∠BED=∠CED，∴ ∠CED=∠F，∴ CE∥AF，∴ CE平行且等于AF，∴ 四边形ACEF是平行四边形。
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形.
证明：若四边形ACEF为菱形，则AF=FE，又AF=AE，∴△AFE是等边三角形，
∴ ∠F=∠2=∠1=60°，∴ ∠B=30°
（3）不可能为矩形，∵ 若为矩形，∠F=∠2=90°，点ED重合，与已知条件不符。

Answer 3

第一问主要证明△FAE≌△CEA
第二问满足菱形的条件是AF=AE就是∠1=∠AEC
∠AEC=∠3+∠4 又∠3=∠4
所以∠1+∠3=90°，∠1=2×∠3
第三问根据第二问的角度条件算

Answer 4

解：（1）由DE是△ABC的中垂线知，DE也是△ABC的中位线    ∴CE=EB=AE=AF         ∴∠1=∠5=∠2=∠F   ∴△AFE≌△ACE     ∴四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ∵∠B=30°时，∠1=60°        ∴△ACE是等边三角形     ∴四边形ACEF是菱形； （3）不能；当四边形ACEF是矩形时，∠1=∠2=90°，这是不可能的。

Answer 5

解：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA，
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=AB，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=AB，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形。    

（3）不能；当四边形ACEF是矩形时，∠1=∠2=90°，这是不可能的。