Question

已知数列{a n }满足a 1 =1，且a n =2a n-1 +2 n （n≥2且n∈N * ）．（1）求证：数列{ a n

已知数列{a n }满足a 1 =1，且a n =2a n-1 +2 n （n≥2且n∈N * ）．（1）求证：数列{ a n 2 n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

证明：（1）∵a n =2a n-1 +2 n ，两边同时除以2 n ，可得 a n 2 n = a n-1 2 n-1 +1 ∴ a n 2 n - a n-1 2 n-1 =1 ，又 a 1 2 1 = 1 2 ∴数列{ a n 2 n }是以 1 2 为首项，以1为公差的等差数列； （2）由（1）可知 a n 2 n = 1 2 +n-1 = n- 1 2 ∴ a n =(n- 1 2 )? 2 n