Question

设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程（x2-2x）y″-（x2-2）y′+（2x-2）y=6x-6的解，则方程的通解为____

设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程（x2-2x）y″-（x2-2）y′+（2x-2）y=6x-6的解，则方程的通解为______．

Answer 1

由已知，得y2?y1＝x2，y3?y2＝ex是方程（x²-2x）y″-（x²-2）y′+（2x-2）y=0的两个解
由于这两个解是线性无关的，因此
y＝C1x2+C2ex就是（x²-2x）y″-（x²-2）y′+（2x-2）y=0的通解
而y₁=3是方程（x²-2x）y″-（x²-2）y′+（2x-2）y=6x-6的特解
∴原方程的通解为
y＝C1x2+C2ex+3（C₁、C₂为任意常数）