Question

已知椭圆x28+y22＝1经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）．（1）当m=

已知椭圆x28+y22＝1经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）．（1）当m=3时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；（2）当m=3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

（1）解：当m=3时，直线l与椭圆相离．…（2分）
（2）解：可知直线l的斜率为

1

2

，
设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，
设直线a的方程为y＝

1

2

x+b…（3分）
联立

y＝ 1 2 x+b x2 8 + y2 2 ＝1

，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分）
∴△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2（5分）
∴直线a的方程为y＝

1

2

x±2．
所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线y＝

1

2

x+3的距离    …（6分）
d＝

3?2

12+( 1 2 )2

＝

2 5

5

．…（7分）
（3）证明：由

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