如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；（Ⅲ）求...
如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．
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解法一：
（Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB?面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）解：如图，过点C作CM⊥AB于M，连接DM．
由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜线DM在平面ABC内的射影，
∴DM⊥AB．（三垂线定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得BC＝
，BD=2．
∵△ABC是正三角形，
∴CM＝
?BC＝
．
∴tan∠CMD＝
＝
．
∴∠CMD＝arctan
．
∴二面角D-AB-C的大小为arctan
．（9分）
（Ⅲ）解：如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，
连接AO、MO、NO、MN、OD，
则OM∥AC，OM＝
AC；MN∥BD，MN＝
BD．
∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，ON＝
AD．
又∵CD⊥面ABC，故AD＝
＝2ON＝2．
在△OMN中，OM＝
，MN=1，ON=1．
∴cos∠OMN＝
＝
（Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB?面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）解：如图，过点C作CM⊥AB于M，连接DM．
由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜线DM在平面ABC内的射影，
∴DM⊥AB．（三垂线定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得BC＝
| 3 |
∵△ABC是正三角形，
∴CM＝
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴tan∠CMD＝
| CD |
| CM |
| 2 |
| 3 |
∴∠CMD＝arctan
| 2 |
| 3 |
∴二面角D-AB-C的大小为arctan
| 2 |
| 3 |
（Ⅲ）解：如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，
连接AO、MO、NO、MN、OD，
则OM∥AC，OM＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，ON＝
| 1 |
| 2 |
又∵CD⊥面ABC，故AD＝
| DC2+AC2 |
在△OMN中，OM＝
| ||
| 2 |
∴cos∠OMN＝
| ||
| MN |
|
