Question

已知函数f（x）=x|x-a|+b，g（x）=x+c（其中a、b、c为常数）（1）当a=3，b=2，c=4时，求函数F（x）=f（x

已知函数f（x）=x|x-a|+b，g（x）=x+c（其中a、b、c为常数）（1）当a=3，b=2，c=4时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在[3，+∞）上的值域；（2）当a=3，b=2，c=4时，判断函数G（x）=f（x）?g（x）在[3，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当b=4，c=2时，方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

解（1）F（x）=f（x）-g（x）=x²-4x-2=（x-2）²-6--------------------------（3分）
F（x）在[3，+∞）上单调递增，------------------------（4分）
当x∈[3，+∞）时，F（x）的值域为[-5，+∞）-------------------------------------------------（6分）
（2）G（x）=f（x）?g（x）=（x²-3x+2）（x+4）=x³+x²-10x+8---------------------------------------（8分）
对任意x₁，x₂∈[3，+∞），且x₁＜x₂
由G（x₁）-G（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+x₁+x₂-10）＜0
知G（x）=f（x）?g（x）在[3，+∞）上的单调递增．-----------------------------------------（12分）
（3）由f（x）=g（x）得x|x-a|+4=x+2即x|x-a|=x-2
令h(x)＝x|x?a|＝

x2?axx≥a ?(x2?ax)x＜a

＝

(x? a 2 )2? a2 4 x≥a ?(x? a 2 )2+ a2 4 x＜a

，p（x）=x-2--------------------（14分）
由图象容易得到
当a=0时，两图象只有一个交点，不合题意；
当a＜0时，由x²-（a+1）x+2=0，令△＝0?a＝?2

2

?1
所以，当a＜?2

2

?1时，符合题意----------------------------------（16分）
当a＞0时，令p（x）=x-2=0?x=2，所以要使得两图象有三个交点，必须a＞2，
所以当