Question

已知函数g（x）=x²-2，f（x）=【g（x）+x+4,x＜ g（x） 【g（x）-x

已知函数g（x）=x²-2，f（x）=【g（x）+x+4,x＜ g（x） 【g（x）-x，x≥g（x） 则f（x）的值域是

做到定义域就不会了。也看不懂答案。。希望大神详细解答

Answer 1

这是一个分段函数，先把表达式求出来，然后分段求值域

x＜ g（x），f（x）=g（x）+x+4,

就是x＜ x²-2，解除不等式为x>2,或x<-1

x>2,或x<-1时，f(x)= x²-2+x+4= x²+x+2=(x+1/2)²+7/4,

x=-1时，f(x)=2

x>2,或x<-1时，f(x)>2

x> g（x）,f（x）=g（x）-x

x≥ x²-2,解得-1≤x≤2

-1≤x≤2时，f(x)=x²-x-2=(x-1/2)²-9/4

x=2时，f(x)=0，f(1/2)=-9/4

-1≤x≤2时，-9/4≤f(x)≤0

综上所述f(x)的值域为[-9/4,0]∪(2，+∞）

函数图像如图

Answer 2

先看x与g（x）关系的分界线，则 x=g(x) ，x=x2-2,解得x＞2或x＜-1时，g(x)>x
然后看x＜g(x)时,代入方程得 y=(x+1/2)2+7/4,因为定义域为x＞2或x＜-1，所以方程的最小值为2且不可取到（x=-1），最大值一直到正无穷
再看x≥g(x)时，代入得（x-1/2）2-9/4，因为定义域为-1≤x≤2，所以方程的最小值为-9/4（x=1/2时取到）最大值为0(x=2时取到)
所以综上，值域为【-9/4, 0】∪（2，+无穷大）
（纯手打，如有问题欢迎提问）