若正实数a.b.c满足a+b+c=1.则(4/a+1)+(1/b+c)的最小值为多少
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解a+b+c=1
知b+c=1-a
故(4/a+1)+(1/b+c)
=(4/a+1)+(1/1-a)
=[(4/a+1)+(1/1-a)]×1
=[(4/a+1)+(1/1-a)]×[(a+1)+(1-a)]/2
=[4+4(1-a)/(a+1)+(a+1)/(1-a)+1]/2
=5/2+1/2[4(1-a)/(a+1)+(a+1)/(1-a)]
≥5/2+1/2×2√4(1-a)/(a+1)×(a+1)/(1-a)
=5/2+2
=7/2
故
(4/a+1)+(1/b+c)的最小值7/2.
知b+c=1-a
故(4/a+1)+(1/b+c)
=(4/a+1)+(1/1-a)
=[(4/a+1)+(1/1-a)]×1
=[(4/a+1)+(1/1-a)]×[(a+1)+(1-a)]/2
=[4+4(1-a)/(a+1)+(a+1)/(1-a)+1]/2
=5/2+1/2[4(1-a)/(a+1)+(a+1)/(1-a)]
≥5/2+1/2×2√4(1-a)/(a+1)×(a+1)/(1-a)
=5/2+2
=7/2
故
(4/a+1)+(1/b+c)的最小值7/2.
更多追问追答
追问
这是个选择题，正确答案是3/2,2,9/2,4之间的一个
追答
我最后一步加错了5/2+2=9/2.
答案是9/2
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