Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠B

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC= ，求 的值．

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Answer 1

（1）证明：连接OC． ∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF， ∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC。 ∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF。 ∴OC∥AF。∴CF⊥OC。∴CF是⊙O的切线。 （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°。 ∴S △CBD =2S △CEB ，∠BAC=∠BCE。∴△ABC∽△CBE。 ∴ 。∴ 。

（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线。 （2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S △CBD =2S △CEB ，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，从而可求得 的值。