Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足4Sn=（an+1）2（n=1，2，3…）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足4Sn=（an+1）2（n=1，2，3…）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1anan+1，求{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意n∈N*，Tn＞m32都成立，求整数m的最大值．

Answer 1

（I）当n=1时，4S₁=4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=(an+1)2?(an?1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵正项数列{a_n}，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}为等差数列，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴{b_n}的前n项和T_n=

1

2

(1?

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（III）对任意n∈N^*，T_n＞

m

32

都成立，
∴m＜32×

1

2

(1?

1

2n+1

)，
∵数列{1?

1

2n+1

}是单调递增数列，因此当n=1时，取得最小值

32

3

．
∴m＜

32

3

．
∴整数m的最大值为10．