Question

已知正项数列{an}的前项n和为Sn，满足3Sn=1-an，且bn+2=3log 14an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an?bn．（1

已知正项数列{an}的前项n和为Sn，满足3Sn=1-an，且bn+2=3log 14an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an?bn．（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Tn；（3）若cn≤14（3t2+5t-1）对一切n∈N*恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知：Sn＝

1

3

?

1

3

an(n∈N+)，
因为当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝

1

3

an?1?

1

3

an，
所以4a_n=a_n-1，所以

an

an?1

＝

1

4

（n≥2），
当n=1时，S1＝

1

3

?

1

3

a1=a₁，
所以a1＝

1

4

，
所以{a_n}是以

1

4

为首项是以

1

4

为公比的等比数列，
所以an＝(

1

4

)n(n∈N+)，
因为b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），所以b_n=3n-2，
所以b_n-1=3n-5，
b_n-b_n-1=3（n≥2），所以{b_n}是等差数列．
（2）由（1）知c_n=a_n?b_n=(3n?2)?(

1

4

)n
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+…+(3n?2)(

1

4

)n①
所以：

1

4

Tn＝1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3 +…+(3n?2)(

1

4

)n+1②
①-②得

3

4

Tn＝1×

1

4

+3×(

1

4

)2+…+3×(

1

4

)n?(3n?2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1?( 1 4 )n?1]

1? 1 4

?(3n?2)×(

1

4

)n+1，
整理后得到：Tn＝

2

3

?

3n+2

3

×(

1

4

)n．
（3）若c_n≤

1

4

（3t²+5t-1）对一切n∈N^*恒成立，
只需(cn)max≤

1

4

(3t2+5t?1)，
又cn+1?cn＝

3n+1

4n+1

?

3n?2

4n

＝

9?9n

4n+1

≤0，
c₁=c₂＞c₃＞c₄＞…
所以最大值为c1＝c2＝

1

4

．
所以：

1

4

≤

1

4

(3t2+5t?1)
即3t²+5t-2≥0
解得：t≤?2或t≥

1

3

．