Question

若方程|ax|=x+a（a＞0）有两个解，则a的取值范围是______

若方程|ax|=x+a（a＞0）有两个解，则a的取值范围是______．

Answer 1

解：作出函数f（x）=|ax|=

ax， x≥0 ?ax， x＜0

和g（x）=x+a的图象如图：
则当x＜0时，∵a＞0，∴此时方程程|ax|=x+a（a＞0）一定有一个负根，
要使方程|ax|=x+a（a＞0）有两个解，则等价为当x＞0时，方程有一个正根，
即ax=x+a，有一正根，
则（a-1）x=a，则x=

a

a?1

＞0，
∵a＞0，∴a-1＞0，解得a＞1，
故a的取值范围是（1，+∞），（如图）
故答案为：（1，+∞）

Answer 2

方程|ax|=x+a(a>0)有两个解，
<==>函数y=|ax|的图像与y=x+a的图像恰有两个交点，
y=|ax|={ax,x>=0;
{-ax,x<0的图像是两条射线，
y=x+a的图像是过点(0,a),斜率为1的直线，它与射线y=-ax(x<0)恰有1的交点，它与射线y=ax(x>=0)要恰有一个交点，必须且只需a>1.
综上，a的取值范围是(1,+∞).