Question

设α1，α2，α3，α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列向量组中不再是Ax=0的基础解系的为（　

设α1，α2，α3，α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列向量组中不再是Ax=0的基础解系的为（　　）A．α1，α1+α2，α1+α2+α3，α1+α2+α3+α4B．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1C．α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4+α1D．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1

Answer 1

①选项A，由于（α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃，α₁+α₂+α₃+α₄）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

，而

.

1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

.

≠0，
故α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃，α₁+α₂+α₃+α₄线性无关，
因而此向量组是AX=0的基础解系，故A错误；
②选项B．由于（α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄-α₁）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

1 0 0 ?1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

，而

.

1 0 0 ?1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

.

≠0，
故α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄-α₁线性无关
因而此向量组是AX=0的基础解系，故B错误；
③选项C．由于（α₁+α₂，α₂-α₃，α₃+α₄，α₄+α₁）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

1 0 0 1 1 1 0 0 0 ?1 1 0 0 0 1 1

，而

.

1 0 0 1 1 1 0 0 0 ?1 1 0 0 0 1 1

.

≠0
故α₁+α₂，α₂-α₃，α₃+α₄，α₄+α₁线性无关
因而此向量组是AX=0的基础解系，故C错误；
④选项D．由于（α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄+α₁）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

，而

.

1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

.

＝0
故α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄+α₁线性相关
因而此向量组不是AX=0的基础解系，故D正确
故选：D．