Question

已知函数y=f(x)是定义在R上的恒不为0的单调函数,对于任意的x,y∈R,总有f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列

已知函数y=f(x)是定义在R上的恒不为0的单调函数,对于任意的x,y∈R,总有f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=f(0),f[a(n+1)]=1/f[3^(n+1)-2an],n∈N+,则Sn=_____

Answer 1

f(0)f(1)=f(1)
-->f(0)=1
a1=1 -->f(a(n+1))f(3^(n+1)-2an)=f(0)
--单调函数-->a(n+1)+3^(n+1)-2an=0
-->a(n+1)=2an-3^(n+1)
a(n+1)+3^(n+2)=2an+2*3^(n+1)
-->an+3^(n+1)为公比为2的等比数列
a1+3^2=10 -->an+3^(n+1)=10*2^(n-1)
-->an=5*2^n-3*3^n
Sn=5*2*(2^n-1)-3*3*(3^n-1)/2
=10(2^n-1)-4.5(3^n-1)