Question

设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+6．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}是首项为1

设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+6．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{anbn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=2a₂+6，
∴2q²=4q+6，且q＞0，
解得q=3，
∴a_n=2?3^n-1．
（2）∵数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴a_nb_n=（4n-2）?3^n-1，
∴S_n=2?3⁰+6?3+10?3²+…+（4n-2）?3^n-1，①
3S_n=2?3+6?3²+10?3³+…+（4n-2）?3ⁿ，②
①-②，得：
-2S_n=2+4（3+3²+…+3^n-1）-（4n-2）?3ⁿ
=2+4×

3(1?3n?1)

1?3

-（4n-2）?3ⁿ
=2+6?3^n-1-6-（4n-2）?3ⁿ
=-4-（4n-4）?3ⁿ，
∴Sn＝(2n?2)?3n+2．