Question

（2014?西城区二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O为BD1的中点．（Ⅰ）求证：

（2014?西城区二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O为BD1的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD；（Ⅲ）设P为正方体ABCD-A1B1C1D1棱上一点，给出满足条件OP=2的点P的个数，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，
∴平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）证明：连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AE∥DD₁，且AE=

1

2

DD₁，且G是BD的中点，
又因为O是BD₁的中点，
∴OG∥DD₁，且OG=

1

2

DD₁，
∴OG∥AE，且OG=AE，
即四边形AGOE是平行四边形，
所以OE∥AG，
又∵EO?平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以EO∥平面ABCD．
（Ⅲ）解：满足条件OP=

2

的点P有12个．
理由如下：
因为 ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，AA₁=2，
所以 AC=2

2

．
所以 OE=AG=

1

2

AC=

2

．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为 AA₁⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以 AA₁⊥AG，
又因为 EO∥AG，
所以 AA₁⊥OE，
则点O到棱AA₁的距离为

2

，
所以在棱AA₁上有且只有一个点（即中点E）到点O的距离等于

2

，
同理，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁每条棱的中点到点的距离都等于

2

，
所以在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=